arkusz.ai

Trygonometria

Trygonometria spina ze sobą kąty i długości boków. Brzmi abstrakcyjnie, ale na maturze podstawowej sprowadza się do kilku wzorów i jednego trójkąta prostokątnego. Gdy je opanujesz, zadania z tego działu robią się powtarzalne.

1. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Wszystko zaczyna się w trójkącie prostokątnym. Weź kąt ostry $\alpha$ i nazwij boki: przeciwprostokątna $c$ to najdłuższy bok, leżący naprzeciw kąta prostego. Przyprostokątna $a$ leży naprzeciw kąta $\alpha$ , a przyprostokątna $b$ leży tuż przy tym kącie.

Trzy podstawowe funkcje to po prostu stosunki tych boków. Sinus to bok naprzeciw kąta podzielony przez przeciwprostokątną. Cosinus to bok przy kącie podzielony przez przeciwprostokątną. Tangens to stosunek dwóch przyprostokątnych, czyli boku naprzeciw kąta do boku przy kącie.

2. Najważniejsze kąty: 30, 45 i 60 stopni

Na maturze trzy kąty wracają częściej niż wszystkie inne. Warto mieć ich wartości w głowie, bo oszczędzają mnóstwo czasu i pozwalają uniknąć sięgania po kalkulator.

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ oraz $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ,
$\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ,
$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ oraz $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ .

Zauważ, że sinus jednego kąta jest cosinusem drugiego. To nie przypadek: kąty $30^\circ$ i $60^\circ$ uzupełniają się do $90^\circ$ , dlatego ich funkcje się zamieniają.

3. Jedynka trygonometryczna

Najważniejszy wzór całego działu to tożsamość $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ , nazywana jedynką trygonometryczną. Działa dla każdego kąta, bez wyjątku.

Dzięki niej, znając sinus kąta, policzysz jego cosinus i odwrotnie. Nie musisz w ogóle znać samego kąta. To ulubione narzędzie egzaminatorów, więc warto je mieć opanowane do automatu.

4. Związek tangensa z sinusem i cosinusem

Tangens nie jest osobnym, niezależnym bytem. Zawsze można go zapisać jako iloraz sinusa i cosinusa: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ .

To bardzo wygodne. Jeśli w zadaniu pojawia się tangens, a Ty wolisz pracować na sinusie i cosinusie, możesz go w każdej chwili rozpisać. Działa to też w drugą stronę, gdy znasz tangens, a potrzebujesz pozostałych funkcji.

5. Jak to wygląda na maturze

Typowe zadanie podaje jedną wartość, na przykład sinus kąta, i prosi o policzenie pozostałych funkcji. Schemat jest niemal zawsze ten sam: korzystasz z jedynki trygonometrycznej albo odtwarzasz trójkąt prostokątny o odpowiednio dobranych bokach.

Drugi częsty typ to zadania z trójkątem, w którym znasz długości boków i masz policzyć funkcję wskazanego kąta. Wtedy wystarczy poprawnie przypisać boki do kąta i podstawić do definicji.

NAJWAŻNIEJSZE WZORY

Sinus kąta ostrego

$\sin\alpha = \dfrac{a}{c}$

Cosinus kąta ostrego

$\cos\alpha = \dfrac{b}{c}$

Tangens kąta ostrego

$\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{a}{b} = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

Jedynka trygonometryczna

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Wartości dla 30 i 60 stopni

$\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \tfrac{1}{2}$

Wartość dla 45 stopni

$\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

💡

Szybki tip maturalny

Gdy znasz jedną funkcję kąta ostrego i masz policzyć resztę, narysuj trójkąt prostokątny i dobierz długości boków tak, aby pasowały do danej wartości. Często jest to szybsze niż przekształcanie wzorów, bo od razu widzisz wszystkie trzy funkcje naraz.

Korepetytor rozwiązuje na żywo

Wygenerowano automatycznie w arkusz.ai

W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna ma długość $6$ , a przeciwprostokątna $10$ . Oblicz sinus i cosinus kąta leżącego naprzeciw tej przyprostokątnej.

Dla wskazanego kąta bok naprzeciw ma długość $6$ , a przeciwprostokątna $10$ .

Sinus to stosunek boku naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej: $\sin\alpha=\frac{6}{10}=\frac35$ .

Drugą przyprostokątną wyznaczam z Pitagorasa: $10^2-6^2=64$ , więc ma długość $8$ .

Cosinus to bok przy kącie przez przeciwprostokątną: $\cos\alpha=\frac{8}{10}=\frac45$ .

Wynik:

$\sin\alpha=\frac35$ , $\cos\alpha=\frac45$ .

PRZYKŁADOWE ZADANIA

Łatwe1 pkt

Matura podstawowa, sierpniowa 2024, zad. 18

W trójkącie $ABC$ zachodzi $|AB| = 5$ , $|AC| = 2$ oraz $\cos(\angle BAC) = \dfrac{3}{5}$ . Długość $|BC|$ jest równa: A) $\sqrt{17}$ , B) $\sqrt{23}$ , C) $\sqrt{35}$ , D) $\sqrt{41}$ .

Łatwe1 pkt

Matura podstawowa, majowa 2024, zad. 19

Jeżeli $\cos\alpha = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ i $\alpha \in (90°, 180°)$ , to $\sin\alpha$ jest równy: A) $-\dfrac{1}{2}$ , B) $\dfrac{1}{2}$ , C) $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , D) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

Trudne1 pkt

Matura podstawowa, majowa 2026, zad. 23

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek $\dfrac{3\sin\alpha + 4\cos\alpha}{4\cos\alpha} = 6$ . Tangens kąta $\alpha$ jest równy: A) $\dfrac{5}{8}$ , B) $\dfrac{8}{3}$ , C) $\dfrac{32}{5}$ , D) $\dfrac{20}{3}$ .

Często zadawane pytania

Poćwicz w praktyce

Zadania maturalne z tego działu

Oficjalne zadania CKE z działu Trygonometria - z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Wszystkie zadania

Zadanie 172025 czerwiec

Liczba $\dfrac{\sin^3 25^\circ + \sin 25^\circ \cdot \cos^2 25^\circ}{\cos 25^\circ}$ jest równa

Rozwiąż zadanie

Zadanie 202025 sierpień

Liczba $\sin 30^\circ \cdot \cos 60^\circ + \sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ$ jest równa

Rozwiąż zadanie

Zadanie 17.12024 grudzień

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$ , w którym $|AC|=\sqrt{15}$ i $|BC|=8$ . Na przyprostokątnej $AB$ leży taki punkt $D$ , że $|BD|=6$ (zobacz rysunek). Sinus kąta ostrego $ABC$ jest równy

Rozwiąż zadanie

Zadanie 182024 maj

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ zaznaczono kąt o mierze $\alpha$ taki, że $\text{tg}\,\alpha = -3$ oraz $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ (zobacz rysunek).

Rozwiąż zadanie