arkusz.ai

Funkcje i wykresy

Funkcje to temat, który wraca na maturze co roku i potrafi dać sporo punktów. Dobra wiadomość jest taka, że schematów jest mało i kiedy je załapiesz, większość zadań robi się odtwórcza. Przejdźmy przez to spokojnie.

1. Funkcja liniowa

Funkcja liniowa ma wzór $y = ax + b$ , a jej wykresem jest zwykła prosta. Współczynnik $a$ mówi o nachyleniu prostej, a $b$ to miejsce, w którym prosta przecina oś $y$ .

Gdy $a > 0$ , funkcja rośnie. Gdy $a < 0$ , maleje. Jeśli $a = 0$ , zostaje sama pozioma linia $y = b$ i funkcja jest stała.

2. Funkcja kwadratowa, czyli gwiazda matury

Tu zaczyna się prawdziwa zabawa. Funkcja kwadratowa $f(x) = ax^2 + bx + c$ rysuje parabolę, czyli ten słynny wykres w kształcie litery U. Uśmiechniętej, gdy $a > 0$ , i smutnej, gdy $a < 0$ .

Na maturze prawie zawsze chcą od Ciebie jednej z trzech rzeczy: miejsc zerowych, wierzchołka albo znaku funkcji. Klucz do wszystkich trzech to delta.

3. Delta i co z niej wynika

Delta, czyli wyróżnik trójmianu, to $\Delta = b^2 - 4ac$ . Jej znak od razu mówi, ile parabola ma miejsc zerowych:

$\Delta > 0$ to dwa miejsca zerowe,
$\Delta = 0$ to jedno miejsce zerowe,
$\Delta < 0$ to brak miejsc zerowych, parabola nie dotyka osi $x$ .

Kiedy delta jest dodatnia, pierwiastki liczysz ze wzoru $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ .

NAJWAŻNIEJSZE WZORY

Postać ogólna

$f(x) = ax^2 + bx + c$

Postać kanoniczna

$f(x) = a(x-p)^2 + q$

Postać iloczynowa

$f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$

Delta

$\Delta = b^2 - 4ac$

Miejsca zerowe

$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

Wierzchołek paraboli

$p = \dfrac{-b}{2a}, \quad q = \dfrac{-\Delta}{4a}$

💡

Szybki tip maturalny

Zanim policzysz cokolwiek, sprawdź znak współczynnika $a$. To on decyduje, czy ramiona paraboli idą w górę czy w dół, a to z kolei rozstrzyga większość zadań o znaku funkcji oraz o tym, gdzie leży wartość najmniejsza lub największa.

Korepetytor rozwiązuje na żywo

Wygenerowano automatycznie w arkusz.ai

Funkcja kwadratowa $f(x)=x^2-6x+5$ przecina oś $Ox$ w punktach $A$ i $B$ . Wyznacz te punkty oraz współrzędne wierzchołka paraboli.

Miejsca zerowe wyznaczam z równania $x^2-6x+5=0$ .

Rozkładam trójmian: $x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$ .

Stąd punkty przecięcia z osią $Ox$ to $A=(1,0)$ i $B=(5,0)$ .

Współrzędna $x$ wierzchołka to średnia miejsc zerowych: $x_w=\frac{1+5}{2}=3$ .

Obliczam $y_w=f(3)=9-18+5=-4$ .

Wynik:

$A=(1,0)$ , $B=(5,0)$ , wierzchołek $W=(3,-4)$ .

PRZYKŁADOWE ZADANIA

Łatwe1 pkt

Matura podstawowa, sierpniowa 2023, zad. 12

Funkcja $f$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $f(x) = \dfrac{x-k}{x^2+1}$ , gdzie $k$ jest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek $f(1) = 2$ . Wyznacz wartość współczynnika $k$ .

Średnie3 pkt

Matura podstawowa, próbna 2026, zad. 12

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = -16x^2 + 40x + 11$ . W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykresem funkcji $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $C$ . Ta parabola przecina oś $Ox$ w punktach $A$ oraz $B$ . Oblicz pole trójkąta $ABC$ .

Trudne4 pkt

Matura podstawowa, majowa 2026, zad. 14

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W = (3, -2)$ . Funkcja kwadratowa $g$ jest określona za pomocą funkcji $f$ wzorem $g(x) = f(x+1)$ . Jednym z miejsc zerowych funkcji $g$ jest liczba $0$ . Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci ogólnej.

Często zadawane pytania

Poćwicz w praktyce

Zadania maturalne z tego działu

Oficjalne zadania CKE z działu Funkcje i wykresy - z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Wszystkie zadania

Zadanie 102026 próbna

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = (k+2)x+(k-3)$ , gdzie $k$ jest liczbą rzeczywistą.

Rozwiąż zadanie

Zadanie 12.12026 maj

Funkcja $f$ jest określona następująco: $f(x)=\begin{cases}x+2 & \text{dla } x\in[-4,2] \\ -x+5 & \text{dla } x\in(2,5)\end{cases}$ . 1. Rozwiązaniem równania $f(x)=3$ jest liczba ________. 2. Największa wartość funkcji $f$ w przedziale $[2,3]$ jest równa ________.

Rozwiąż zadanie

Zadanie 102025 czerwiec

Funkcja $f$ jest określona następująco: $f(x) = \begin{cases} -x-2 & \text{dla } x \in (-5, -2] \\ 0 & \text{dla } x \in (-2, 1] \\ x & \text{dla } x \in (1, 3] \end{cases}$ Wykres funkcji $y = f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych ( $x$ , $y$ ) na rysunku poniżej.

Rozwiąż zadanie

Zadanie 112025 maj

Funkcja $f$ jest określona następująco: $f(x) = \begin{cases} x+5 &\text{dla } x \in [-4,-2] \\ 3 &\text{dla } x \in (-2,2] \\ -3x+9 &\text{dla } x \in (2,4) \end{cases}$ . Wykres funkcji $y = f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku poniżej. Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Dziedzina funkcji $f$ jest przedział $........................$ . 2. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $........................$ . 3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział $........................$ . 4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $f(x)=3$ jest przedział $........................$ .

Rozwiąż zadanie