arkusz.ai
Wszystkie notatki

Kombinatoryka

Kombinatoryka odpowiada na pytanie: na ile sposobów można coś zrobić. Liczymy w niej ustawienia, wybory i kombinacje. Na maturze podstawowej najważniejsza jest jedna prosta zasada: reguła mnożenia.

1. Reguła mnożenia

Reguła mnożenia to fundament całego działu. Mówi ona, że jeśli pewną czynność wykonujemy etapami, to liczbę wszystkich możliwości otrzymujemy, mnożąc liczby możliwości na każdym etapie.

Jeśli masz 33 koszulki i 22 pary spodni, to różnych zestawów ubrań jest 3⋅2=63 \cdot 2 = 6. Ta prosta zasada wystarcza do rozwiązania większości maturalnych zadań z kombinatoryki.

2. Silnia

Silnia to skrócony zapis mnożenia kolejnych liczb naturalnych. Symbol n!n! oznacza iloczyn 1⋅2⋅3⋅…⋅n1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n.

Na przykład 4!=1⋅2⋅3⋅4=244! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24. Przyjmujemy też umownie, że 0!=10! = 1. Silnia bardzo szybko rośnie, więc nawet niewielkie liczby dają duże wyniki.

3. Permutacje

Permutacja to ustawienie wszystkich elementów zbioru w określonej kolejności. Pytanie brzmi: na ile sposobów można je poustawiać.

Liczbę permutacji zbioru nn-elementowego liczymy jako n!n!. Pięć osób można ustawić w kolejce na 5!=1205! = 120 sposobów, bo na pierwsze miejsce mamy 55 kandydatów, na drugie 44 i tak dalej.

4. Wybór z powtórzeniami

Czasem na każdym etapie mamy do dyspozycji ten sam zestaw możliwości. Wtedy liczbę kombinacji liczymy jako potęgę.

Jeśli kod składa się z 33 cyfr, a każda może być dowolną z dziesięciu, to wszystkich kodów jest 103=100010^3 = 1000. To wciąż reguła mnożenia, tylko zapisana krócej.

5. Jak liczyć w zadaniach

Najlepsza metoda to wyobrazić sobie, że budujesz wynik krok po kroku. Zastanów się, ile masz możliwości na pierwszej pozycji, ile na drugiej i tak dalej.

Uważaj na jeden szczegół: jeśli elementy nie mogą się powtarzać, liczba możliwości maleje z każdym krokiem. Jeśli mogą, na każdym etapie pozostaje taka sama.

NAJWAŻNIEJSZE WZORY

Reguła mnożenia

n1⋅n2⋅…⋅nkn_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k

Silnia

n!=1⋅2⋅3⋅…⋅nn! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n

Permutacje zbioru

Pn=n!P_n = n!

Umowa o zero silnia

0!=10! = 1

Wybór z powtórzeniami

nkn^k

Symbol Newtona

(nk)=n!k! (n−k)!\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}

💡
Szybki tip maturalny

Większość zadań z kombinatoryki rozwiążesz, wyobrażając sobie wynik budowany pozycja po pozycji. Policz, ile masz możliwości na każdej pozycji, i wszystko przemnóż. Klucz to ustalić, czy elementy mogą się powtarzać.

Korepetytor rozwiązuje na żywo

Wygenerowano automatycznie w arkusz.ai

Ile liczb trzycyfrowych parzystych można utworzyć z cyfr 1,2,3,4,51,2,3,4,5, jeśli cyfry nie mogą się powtarzać?

1

Liczba ma być parzysta, więc ostatnią cyfrą może być tylko 22 albo 44 - są 22 możliwości.

2

Po wybraniu ostatniej cyfry na setki zostają 44 możliwości.

3

Na dziesiątki zostają wtedy 33 możliwości.

4

Mnożę możliwości: 2⋅4⋅3=242\cdot4\cdot3=24.

Wynik:

Można utworzyć 2424 takie liczby.

PRZYKŁADOWE ZADANIA

Łatwe1 pkt
Matura podstawowa, majowa 2024, zad. 27

Ile jest czterocyfrowych liczb naturalnych, w zapisie których każda cyfra jest różna i żadna z cyfr nie jest zerem - A) 10⋅9⋅8⋅710 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7, B) 949^4, C) 9⋅8⋅7⋅69 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6, D) (94)\binom{9}{4}.

Ile jest czterocyfrowych liczb naturalnych, w zapisie których każda cyfra jest różna i żadna z cyfr nie jest zerem - A) 10⋅9⋅8⋅710 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7, B) 949^4, C) 9⋅8⋅7⋅69 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6, D) (94)\binom{9}{4}.

Średnie1 pkt
Matura podstawowa, majowa 2026, zad. 29

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0,1,2,3,4,5,60, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (np.: 321321, 555555), jest: A) 6⋅7⋅36 \cdot 7 \cdot 3, B) 6⋅7⋅76 \cdot 7 \cdot 7, C) 7⋅7⋅37 \cdot 7 \cdot 3, D) 7⋅7⋅77 \cdot 7 \cdot 7.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0,1,2,3,4,5,60, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (np.: 321321, 555555), jest: A) 6⋅7⋅36 \cdot 7 \cdot 3, B) 6⋅7⋅76 \cdot 7 \cdot 7, C) 7⋅7⋅37 \cdot 7 \cdot 3, D) 7⋅7⋅77 \cdot 7 \cdot 7.

Trudne1 pkt
Matura podstawowa, majowa 2026, zad. 28

Rysunek drwala składa się z sześciu obszarów ponumerowanych liczbami od 11 do 66. Każdy z tych obszarów należy pokolorować jednym z siedmiu kolorów w taki sposób, aby każde dwa obszary graniczące ze sobą miały różny kolor. Z rysunku wynika, że każdy kolejny obszar (od 22 do 66) graniczy tylko z obszarem 11. Wszystkich takich sposobów pokolorowania drwala jest: A) 7⋅657 \cdot 6^5, B) 73⋅637^3 \cdot 6^3, C) 7⋅67 \cdot 6, D) 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅27 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2.

Rysunek drwala składa się z sześciu obszarów ponumerowanych liczbami od 11 do 66. Każdy z tych obszarów należy pokolorować jednym z siedmiu kolorów w taki sposób, aby każde dwa obszary graniczące ze sobą miały różny kolor. Z rysunku wynika, że każdy kolejny obszar (od 22 do 66) graniczy tylko z obszarem 11. Wszystkich takich sposobów pokolorowania drwala jest: A) 7⋅657 \cdot 6^5, B) 73⋅637^3 \cdot 6^3, C) 7⋅67 \cdot 6, D) 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅27 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2.

Często zadawane pytania

Poćwicz w praktyce

Zadania maturalne z tego działu

Oficjalne zadania CKE z działu Kombinatoryka - z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Wszystkie zadania
Zadanie 282026 próbna

Rysunek drwala składa się z sześciu obszarów ponumerowanych liczbami od 11 do 66 (zobacz rysunek). Każdy z tych obszarów należy pokolorować jednym z siedmiu kolorów w taki sposób, aby każde dwa obszary graniczące ze sobą miały różny kolor. Wszystkich takich sposobów pokolorowania drwala jest

Rozwiąż zadanie
Zadanie 272024 grudzień

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują wyłącznie cyfry 0, 1, 2, 3 (np. 12303, 11111), jest:

Rozwiąż zadanie
Zadanie 302023 sierpień

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się nie powtarzają, jest

Rozwiąż zadanie