arkusz.ai

Ciągi

Ciągi to uporządkowane listy liczb, które rządzą się prostą regułą. Na maturze spotkasz głównie dwa rodzaje: arytmetyczny i geometryczny. Cała sztuka polega na rozpoznaniu, z którym masz do czynienia, i podstawieniu do właściwego wzoru.

1. Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny powstaje wtedy, gdy do każdego wyrazu dodajesz stałą liczbę, aby otrzymać następny. Tę stałą liczbę nazywamy różnicą ciągu i oznaczamy literą $r$ .

Na przykład $2, 5, 8, 11, \dots$ to ciąg arytmetyczny o różnicy $r = 3$ . Dowolny wyraz policzysz wprost ze wzoru $a_n = a_1 + (n-1)r$ , bez wypisywania wszystkich poprzednich wyrazów.

2. Suma ciągu arytmetycznego

Często trzeba dodać wiele początkowych wyrazów ciągu. Robienie tego po kolei jest czasochłonne, dlatego mamy gotowy wzór na sumę: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ .

Wzór mówi prostą rzecz: bierzesz średnią z pierwszego i ostatniego wyrazu, a potem mnożysz ją przez liczbę wyrazów. Jeśli nie znasz ostatniego wyrazu, najpierw policz go ze wzoru na $a_n$ .

3. Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny działa podobnie, ale zamiast dodawać, mnożysz. Każdy wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stałą liczbę, którą nazywamy ilorazem i oznaczamy literą $q$ .

Na przykład $3, 6, 12, 24, \dots$ to ciąg geometryczny o ilorazie $q = 2$ . Dowolny wyraz policzysz ze wzoru $a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}$ .

4. Jak rozpoznać typ ciągu

Na maturze pierwszym krokiem jest zawsze ustalenie, z jakim ciągiem masz do czynienia. Wystarczy sprawdzić dwie sąsiednie pary wyrazów.

Jeśli różnica kolejnych wyrazów jest stała, ciąg jest arytmetyczny. Jeśli stały jest ich iloraz, ciąg jest geometryczny. Gdy ani jedno, ani drugie nie zachodzi, masz do czynienia z ciągiem zadanym w inny sposób, zwykle wzorem ogólnym.

NAJWAŻNIEJSZE WZORY

n-ty wyraz arytmetycznego

$a_n = a_1 + (n-1)\,r$

Różnica ciągu arytmetycznego

$r = a_{n+1} - a_n$

Suma ciągu arytmetycznego

$S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

n-ty wyraz geometrycznego

$a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}$

Iloraz ciągu geometrycznego

$q = \dfrac{a_{n+1}}{a_n}$

Warunek na wyraz środkowy

$2a_{n+1} = a_n + a_{n+2}$

💡

Szybki tip maturalny

Zanim sięgniesz po wzór, zapisz dokładnie, co jest dane, a co masz policzyć. Większość zadań z ciągów to podstawienie do jednego z czterech wzorów. Najczęstszy błąd to pomylenie numeru wyrazu $n$ z jego wartością $a_n$.

Korepetytor rozwiązuje na żywo

Wygenerowano automatycznie w arkusz.ai

Trzeci wyraz ciągu arytmetycznego $(a_n)$ jest równy $7$ , a suma siedmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $77$ . Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Z warunku $a_3 = 7$ korzystam ze wzoru $a_n = a_1 + (n-1)r$ , więc mam $a_1 + 2r = 7$ .

Dla sumy siedmiu wyrazów używam wzoru $S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n$ .

Podstawiam $n=7$ i $S_7=77$ : $\dfrac{2a_1 + 6r}{2} \cdot 7 = 77$ , czyli $a_1 + 3r = 11$ .

Odejmuję równania: $(a_1 + 3r) - (a_1 + 2r) = 11 - 7$ , więc $r = 4$ .

Podstawiam do $a_1 + 2r = 7$ : $a_1 + 8 = 7$ , zatem $a_1 = -1$ .

Wynik:

$a_1 = -1$ oraz $r = 4$ .

PRZYKŁADOWE ZADANIA

Łatwe1 pkt

Matura podstawowa, majowa 2026, zad. 17

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ . Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek $a_3 \cdot a_6 = 18$ . Iloczyn $a_2 \cdot a_7$ jest równy ________.

Średnie2 pkt

Matura podstawowa, majowa 2024, zad. 17

Trzeci wyraz ciągu arytmetycznego $(a_n)$ jest równy $-1$ . Suma piętnastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $-165$ . Oblicz różnicę tego ciągu.

Trudne4 pkt

Matura podstawowa, majowa 2026, zad. 15

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 3n + 5$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ . Trzywyrazowy ciąg $(a_1, a_9, a_k)$ jest geometryczny. Oblicz $k$ .

Często zadawane pytania

Poćwicz w praktyce

Zadania maturalne z tego działu

Oficjalne zadania CKE z działu Ciągi - z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Wszystkie zadania

Zadanie 142026 próbna

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = \dfrac{3n+9}{n+1}$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ . Wyznacz wszystkie wartości $x$ , dla których trzywyrazowy ciąg $(a_5,\, 2x^2,\, 3x^2+5)$ jest arytmetyczny.

Rozwiąż zadanie

Zadanie 152026 maj

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 3n + 5$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ . Trzywyrazowy ciąg $(a_1, a_9, a_k)$ jest geometryczny. Oblicz $k$ .

Rozwiąż zadanie

Zadanie 14.12025 maj

Ciag $(a_n)$ jest okreslony nastepujaco: $\begin{cases} a_1 = 2 \\ a_{n+1} = 2a_n + 1 \end{cases}$ dla kazdej liczby naturalnej $n \ge 1$ . Trzeci wyraz ciagu $(a_n)$ jest rowny

Rozwiąż zadanie

Zadanie 14.12025 czerwiec

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=3n^2-3n$ dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$ . Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Suma $S_3$ trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa

Rozwiąż zadanie