arkusz.ai

Stereometria

Stereometria to geometria przestrzenna: bryły, ich objętości i pola powierzchni. Brzmi groźnie, ale na maturze podstawowej sprowadza się do rozpoznania bryły i podstawienia do wzoru z tablic CKE.

1. Graniastosłupy

Graniastosłup to bryła, która ma dwie identyczne, równoległe podstawy połączone ścianami bocznymi w kształcie prostokątów. Najprostszy przykład to prostopadłościan, a jego szczególnym przypadkiem jest sześcian.

Objętość każdego graniastosłupa liczysz tak samo: pole podstawy mnożysz przez wysokość bryły. To jeden z najczęściej używanych wzorów w tym dziale.

2. Ostrosłupy

Ostrosłup ma jedną podstawę i ściany boczne w kształcie trójkątów, które schodzą się w jednym punkcie zwanym wierzchołkiem. Klasyczny przykład to ostrosłup o podstawie kwadratu, czyli kształt piramidy.

Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości. Ta jedna trzecia to najczęstszy powód błędów, więc warto o niej pamiętać.

3. Bryły obrotowe

Bryły obrotowe powstają przez obrót figury płaskiej dookoła osi. Najważniejsze trzy to walec, stożek i kula.

Walec przypomina graniastosłup z kołem w podstawie, a stożek przypomina ostrosłup z kołem w podstawie. Kula to bryła idealnie okrągła, opisana jednym tylko parametrem, czyli promieniem.

4. Objętość brył

Objętość mówi, ile miejsca zajmuje bryła. Dla graniastosłupa i walca jest to pole podstawy razy wysokość. Dla ostrosłupa i stożka dochodzi mnożnik jedna trzecia.

Wszystkie te wzory znajdziesz w tablicach CKE. Twoim zadaniem jest poprawnie rozpoznać bryłę i nie pomylić wzorów ostrosłupa z graniastosłupem.

5. Pole powierzchni

Pole powierzchni to suma pól wszystkich ścian bryły. Dla graniastosłupów składa się z dwóch podstaw i ścian bocznych.

W zadaniach często pomaga rozłożyć bryłę w myślach na siatkę, czyli wszystkie jej ściany rozprostowane na płaszczyźnie. Wtedy liczenie pola sprowadza się do dodawania pól znanych figur.

NAJWAŻNIEJSZE WZORY

Objętość sześcianu

$V = a^3$

Objętość prostopadłościanu

$V = a \cdot b \cdot c$

Objętość graniastosłupa

$V = P_p \cdot H$

Objętość ostrosłupa

$V = \dfrac{1}{3} \cdot P_p \cdot H$

Objętość walca

$V = \pi r^2 \cdot H$

Objętość kuli

$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$

💡

Szybki tip maturalny

Najczęstszy błąd w stereometrii to pomylenie wzoru na objętość graniastosłupa i ostrosłupa. Zapamiętaj prosto: bryły zakończone ostro, czyli ostrosłup i stożek, mają w objętości mnożnik jedna trzecia. Bryły o prostych ścianach go nie mają.

Korepetytor rozwiązuje na żywo

Wygenerowano automatycznie w arkusz.ai

Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy $6$ i wysokość $10$ . Oblicz jego objętość.

Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku $6$ .

Pole podstawy: $P_p=\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{36\sqrt3}{4}=9\sqrt3$ .

Objętość graniastosłupa to $V=P_p\cdot H$ .

Podstawiam wysokość $10$ : $V=9\sqrt3\cdot10=90\sqrt3$ .

Wynik:

$V=90\sqrt3$ .

PRZYKŁADOWE ZADANIA

Łatwe1 pkt

Matura podstawowa, majowa 2026, zad. 28

Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca. Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy: A) $\dfrac{1}{12}$ , B) $\dfrac{1}{6}$ , C) $\dfrac{2}{3}$ , D) $\dfrac{4}{3}$ .

Średnie2 pkt

Matura podstawowa, grudniowa 2024, zad. 26

Stożek ma promień podstawy $r = 3$ i tworzącą $l = 5$ . Oblicz objętość tego stożka.

Trudne2 pkt

Matura podstawowa, majowa 2026, zad. 26

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość $12$ . Ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze $30°$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Często zadawane pytania

Poćwicz w praktyce

Zadania maturalne z tego działu

Oficjalne zadania CKE z działu Stereometria - z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Wszystkie zadania

Zadanie 262026 próbna

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość $12$ . Ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze $30^\circ$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiąż zadanie

Zadanie 272026 maj

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość $8\sqrt{3}$ . Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^\circ$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiąż zadanie

Zadanie 242025 czerwiec

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5. Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym 4. Oblicz objętość tego prostopadłościanu.

Rozwiąż zadanie

Zadanie 252025 maj

Tworzaca stozka ma dlugosc $8$ . Kat rozwarcia tego stozka ma miare $120^\circ$ . Oblicz objetosc tego stozka.

Rozwiąż zadanie