arkusz.ai
Wszystkie notatki

Statystyka

Statystyka to dział o opisywaniu zbiorów danych jedną liczbą. Średnia, mediana i dominanta mówią, gdzie leży środek danych, a rozstęp i odchylenie, jak bardzo są rozrzucone. To jeden z najłatwiejszych działów na maturze.

1. Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna to najczęściej używana miara. Liczysz ją, dodając wszystkie liczby ze zbioru i dzieląc sumę przez ich liczbę.

Jeśli na pięciu sprawdzianach uczeń dostał oceny 3,4,4,5,43, 4, 4, 5, 4, to średnia wynosi 3+4+4+5+45=205=4\frac{3+4+4+5+4}{5} = \frac{20}{5} = 4. Średnia to po prostu wynik wyrównany po równo.

2. Mediana

Mediana to wartość środkowa zbioru, ale dopiero po uporządkowaniu liczb rosnąco. Dzieli ona zbiór na dwie równe części.

Gdy liczb jest nieparzyście wiele, medianą jest po prostu ta w samym środku. Gdy parzyście, medianą jest średnia arytmetyczna dwóch środkowych liczb.

3. Dominanta

Dominanta, nazywana też modą, to wartość, która w zbiorze pojawia się najczęściej. Jest najprostszą z miar do wyznaczenia.

W zbiorze 2,3,3,3,5,72, 3, 3, 3, 5, 7 dominantą jest 33, bo występuje aż trzy razy. Zbiór może mieć kilka dominant albo nie mieć żadnej, jeśli wszystkie liczby są różne.

4. Rozstęp

Rozstęp mówi, jak szeroki jest zakres danych. Liczysz go, odejmując od największej liczby w zbiorze tę najmniejszą.

Dla zbioru 4,7,9,154, 7, 9, 15 rozstęp wynosi 15−4=1115 - 4 = 11. Im większy rozstęp, tym bardziej dane są rozrzucone.

5. Odchylenie standardowe

Odchylenie standardowe to miara tego, jak bardzo poszczególne liczby odbiegają od średniej. Im jest mniejsze, tym dane leżą bliżej średniej.

Na maturze podstawowej rzadko liczy się je w całości, częściej pojawia się jako pojęcie. Wystarczy rozumieć, że duże odchylenie oznacza duży rozrzut, a małe oznacza dane skupione wokół średniej.

NAJWAŻNIEJSZE WZORY

Średnia arytmetyczna

xˉ=x1+x2+…+xnn\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}

Suma danych ze średniej

x1+x2+…+xn=n⋅xˉx_1 + x_2 + \ldots + x_n = n \cdot \bar{x}

Rozstęp

R=xmax⁡−xmin⁡R = x_{\max} - x_{\min}

Mediana zbioru parzystego

M=xk+xk+12M = \dfrac{x_k + x_{k+1}}{2}

Wariancja

σ2=(x1−xˉ)2+…+(xn−xˉ)2n\sigma^2 = \dfrac{(x_1 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n}

Odchylenie standardowe

σ=σ2\sigma = \sqrt{\sigma^2}

💡
Szybki tip maturalny

Zanim wyznaczysz medianę, zawsze najpierw uporządkuj liczby rosnąco. Pominięcie tego kroku to najczęstszy błąd w zadaniach ze statystyki. Średniej i dominanty porządkować nie trzeba, ale przy medianie jest to obowiązkowe.

Korepetytor rozwiązuje na żywo

Wygenerowano automatycznie w arkusz.ai

Dane są liczby 4,6,6,8,10,12,124,6,6,8,10,12,12. Oblicz średnią, medianę i dominantę.

1

Suma liczb wynosi 4+6+6+8+10+12+12=584+6+6+8+10+12+12=58.

2

Średnia to 587=827\frac{58}{7}=8\frac{2}{7}.

3

Po uporządkowaniu mamy już ciąg rosnący, a środkowa czwarta liczba to 88, więc mediana wynosi 88.

4

Najczęściej występują 66 i 1212, więc są dwie dominanty.

Wynik:

Średnia =587=\frac{58}{7}, mediana =8=8, dominanty: 66 i 1212.

PRZYKŁADOWE ZADANIA

Łatwe1 pkt
Matura podstawowa, majowa 2024, zad. 29

Mediana zbioru liczb {3,7,1,9,2,8,4}\{3, 7, 1, 9, 2, 8, 4\} jest równa: A) 33, B) 55, C) 44, D) 77.

Mediana zbioru liczb {3,7,1,9,2,8,4}\{3, 7, 1, 9, 2, 8, 4\} jest równa: A) 33, B) 55, C) 44, D) 77.

Średnie1 pkt
Matura podstawowa, majowa 2024, zad. 28

Średnia arytmetyczna pięciu liczb wynosi 1212. Po dodaniu szóstej liczby średnia arytmetyczna sześciu liczb wynosi 1010. Szósta liczba jest równa: A) 00, B) 22, C) 1111, D) 6060.

Średnia arytmetyczna pięciu liczb wynosi 1212. Po dodaniu szóstej liczby średnia arytmetyczna sześciu liczb wynosi 1010. Szósta liczba jest równa: A) 00, B) 22, C) 1111, D) 6060.

Trudne3 pkt
Matura podstawowa, czerwcowa 2025, zad. 30

W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez 3232 uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki. Liczba punktów: 0,1,2,3,4,50, 1, 2, 3, 4, 5. Liczba uczniów, którzy otrzymali daną liczbę punktów: 4,2,5,5,11,54, 2, 5, 5, 11, 5. Oblicz średnią arytmetyczną, medianę oraz dominantę liczby punktów uzyskanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania.

W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez 3232 uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki. Liczba punktów: 0,1,2,3,4,50, 1, 2, 3, 4, 5. Liczba uczniów, którzy otrzymali daną liczbę punktów: 4,2,5,5,11,54, 2, 5, 5, 11, 5. Oblicz średnią arytmetyczną, medianę oraz dominantę liczby punktów uzyskanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania.

Często zadawane pytania

Poćwicz w praktyce

Zadania maturalne z tego działu

Oficjalne zadania CKE z działu Statystyka - z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Wszystkie zadania
Zadanie 312026 próbna

Podczas pewnego turnieju piłkarskiego rozegrano 5050 meczów. Na diagramie kołowym przedstawiono informacje o liczbie goli strzelonych w tych meczach: 00 goli - 8%8\%, 11 gol - 42%42\%, 22 gole - 32%32\%, 33 gole - 12%12\%, 44 gole - 6%6\% (zobacz rysunek). Mediana liczb goli strzelonych w meczach tego turnieju jest równa

Rozwiąż zadanie
Zadanie 322026 maj

Średnia arytmetyczna trzech liczb: aa, bb, cc, jest równa 22. Średnia arytmetyczna czterech liczb: dd, ee, ff, gg, jest równa 5,55{,}5. Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: aa, bb, cc, dd, ee, ff, gg, jest równa

Rozwiąż zadanie
Zadanie 292025 maj

Srednia arytmetyczna siedmiu liczb: 1,2,3,4,5,x,y1, 2, 3, 4, 5, x, y, jest rowna 33. Suma x+yx+y jest rowna

Rozwiąż zadanie
Zadanie 292025 czerwiec

Średnia arytmetyczna trzech liczb: aa, bb, cc, jest równa 12. Średnia arytmetyczna sześciu liczb: 2a, 3a, 2b, 3b, 2c, 3c, jest równa

Rozwiąż zadanie